Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя школа №30

имени Героя России подполковника Пешкова Олега Анатольевича.

Индивидуальный проект

по математике

«Решение элементов треугольника с помощью математической программы Microsoft Excel».

Выполнил:

Киреев Артём Александрович,

ученик 10А класса.

Руководитель работы:

Матыцина Галина Михайловна,

учитель математики.

Липецк 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ                        2

ГЛАВА I.        ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ, ИХ СВОЙСТВА, ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ        4

1.1        Определения треугольников и их свойства        4

1.2        Элементы треугольников        5

1.3        Чертёж треугольника ABC с обозначением элементов, таблица данных с обозначением и номерами ячеек для Microsoft Excel        6

ГЛАВА II.        ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЁТА ЭЛЕМЕНТОВ ТРЕУГОЛЬНИКА        7

2.1        Вычисление угловых величин в Microsoft Excel        7

2.2        Формулы для треугольника        7

2.3        Возможные ошибки в Microsoft EXCEL и как их не допустить при описании формул расчётов элементов треугольника        18

ГЛАВА III.        ФОРМАТИРОВАНИЕ ПОЛУЧЕННОЙ ТАБЛИЦЫ РЕЗУЛЬТАТОВ        20

3.1        Получение результатов вычислений из таблицы        20

3.2        Форматирование полученной таблицы        20

3.3        Возможные ошибки в получении результата        21

3.3.1         При вводе значений элементов треугольника, кроме углов        21

3.3.2         При вводе значений углов с элементами треугольника        22

3.4        Визуализация полученного решения        22

ГЛАВА IV.        ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛЕНИЙ        25

4.1        Работа с данными, проверка вводимых значений        25

4.2        Условное форматирование «Дано» и «Решение»        26

4.3        Защита листов книги от изменений        27

4.4        Видеофайлы объяснений создания и работы с программой        27

ГЛАВА V.        ЗАКЛЮЧЕНИЕ        28

ВВЕДЕНИЕ

«Треугольник является первой фигурой, которую нельзя разложить на более простые фигуры... и поэтому считается фундаментом любой вещи, имеющей границы и форму»

Джордано Бруно.

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади).

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому исследование его свойств проводилось, начиная с глубокой древности.

Математики называют треугольник двумерным симплексом, что по латыни означает «простейший». Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, т. к. эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются во многих папирусах Древней Греции и Древнего Египта.

Решение элементов треугольника используется в жизни. Так, например, чтобы определить расстояние от берега до недоступной точки, до удалённого корабля, — нужно отметить на берегу две точки, расстояние между которыми известно, и измерить углы между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и два угла» можно найти длину высоты треугольника.

Аналогичная схема используется в астрономии, чтобы определить расстояние до близкой звезды. Измеряются углы наблюдения этой звезды с противоположных точек земной орбиты (то есть с интервалом в полгода) и по их разности (параллаксу) вычисляют искомое расстояние.

Геометрические знания о треугольнике, широко применяются в любой деятельности человека. Например, в архитектуре, искусстве, строительстве, производстве и так далее.

Без решения элементов треугольников не обходится не одна точная наука.

В своём проекте я, с помощью Microsoft Excel, составил программу для вычисления всех элементов треугольника, используя лишь известные формулы. Целью проекта были:

• повторение и изучение новых формул решения треугольника;
• изучение программирования и форматирования данных в математической программе Microsoft Excel;
• составление формул в редакторе Microsoft Equation 3.0 для описания проекта в Microsoft Word;
• составление программы в Microsoft Excel для решения элементов треугольника;
• форматирование и проверка полученных данных;
• составление и решение задач;
• защита проекта с объяснением принципа составление программы и форматирования данных в Microsoft Excel.

ГЛАВА I.        ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ, ИХ СВОЙСТВА, ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

1.1        Определения треугольников и их свойства

Прямоугольный – треугольник, у которого один угол равен 90°.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами a и b, а сторона напротив прямого угла — гипотенузой c.

Свойства прямоугольного треугольника:

1. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.
2. катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы.
3. медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Равнобедренный – треугольник, у которого две стороны равны.

Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. Медианна равнобедренного треугольника, проведённая к основанию является биссектрисой и высотой.

Равносторонний (правильный) – треугольник, у которого все три стороны равны.

В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Свойства равностороннего треугольника:

1. В равностороннем треугольнике все углы равны и равны 60°.
2. В равностороннем треугольнике биссектрисы всех углов являются медианами и высотами.
3. Медианы, биссектрисы и высоты в равностороннем треугольнике пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении (2:1), начиная от вершины треугольника.

Ещё выделяют три вида треугольников:

Остроугольный – треугольник, у которого все углы острые (< 90°).

Тупоугольный – треугольник, у которого один из углов тупой (> 90°).

Разносторонний – треугольник, у которого все три стороны не равны.

1.2        Элементы треугольников

Стороны треугольника a, b, c — отрезки, соединяющие углы A, B, C треугольника.

Высоты треугольника ha, hb, hc — отрезки перпендикуляров, проведённых из вершин треугольника к прямым, содержащим его противоположные стороны.

Медианы треугольника ma, mb, mc — отрезки, соединяющие вершину треугольника с серединами противоположных сторон. Медианы в любом треугольнике пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении (2:1), начиная от вершины треугольника.

Биссектрисы треугольника lA, lB, lC — отрезки, соединяющий вершины треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол при вершине треугольника пополам.

Средняя линия треугольника sa, sb, sc — отрезки, соединяющие середины боковых сторон треугольника. Средняя линия, проведённая через боковые стороны, равна половине длины основания треугольника.

Площадь треугольника S – численная характеристика, показывающая размер этой фигуры.

Периметр треугольника P – сумма всех сторон треугольника.

Описанная окружность с радиусом R – окружность, содержащая все вершины треугольника. Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Вписанная окружность с радиусом r – окружность, лежащая внутри треугольника, касающаяся его сторон. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Для решения поставленной задачи я использовал известные мне и вновь изученные формулы элементов треугольников без их доказательства.

1.3        Чертёж треугольника ABC с обозначением элементов, таблица данных с обозначением и номерами ячеек для Microsoft Excel

ГЛАВА II.        ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЁТА ЭЛЕМЕНТОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

2.1        Вычисление угловых величин в Microsoft Excel

Числовое значение Cos 600

=COS(60*ПИ()/180)=COS(РАДИАНЫ(60))=0,5

Числовое значение Sin 300

=SIN(30*ПИ()/180)=SIN(РАДИАНЫ(30))=0,5

Числовое значение Tg 450

=TAN(45*ПИ()/180)=TAN(РАДИАНЫ(45))=1,0

Градусное значение Arccos 0,5

=ACOS(0,5)*180/ПИ()=ГРАДУСЫ(ACOS(0,5)=600

Градусное значение Arcsin 0,5

=ASIN(0,5)*180/ПИ()=ГРАДУСЫ(ASIN(0,5)=300

Градусное значение Arctg 1,0

=ATAN(1,0)*180/ПИ()=ГРАДУСЫ(ATAN(1,0)=450

2.2        Формулы для треугольника

Как видно по чертежу, треугольник АВС состоит из других треугольников, образованных делением исходного треугольника различными элементами – биссектрисами, медианами, высотами. Составив формулы для решения элементов этих треугольников и объединив их в единую таблицу Microsoft EXCEL, я получил искомый результат – программу для решения элементов треугольника ABC по известным (заданным) данным.

Рассмотрим треугольник ABC

1. По теореме косинусов

               

2. По теореме косинусов

               

3. По теореме косинусов

               

4. По теореме синусов

                               =>

                               

                       

5. По теореме синусов

                               =>

                               

                       

6. По теореме синусов

                               =>

                               

                       

7. По свойству углов треугольников

                       

8. По формуле биссектрисы (по теореме Стюарта)

       

9. По формуле биссектрисы (по теореме Стюарта)

                       

10. По формуле биссектрисы (по теореме Стюарта)

       

11. По формуле биссектрисы (по теореме Стюарта)

                       

12. По формуле биссектрисы (по теореме Стюарта)

       

13. По формуле биссектрисы (по теореме Стюарта)

                       

14. По формуле биссектрисы (по теореме Стюарта)

                       

15. По формуле биссектрисы (по теореме Стюарта)

                       

16. По формуле биссектрисы (по теореме Стюарта)

                       

17. По формуле биссектрисы (по теореме Стюарта)

                       

18. По формуле биссектрисы (по теореме Стюарта)

                       

19. По формуле биссектрисы (по теореме Стюарта)

                       

20. По определению периметра

                       

                                       

                                       

21. По формуле площади треугольника

                                                               

22. По формуле площади треугольника

                                                               

23. По формуле площади треугольника

                                                               

24. По формуле Герона

                       где                                =>

       

25. По формуле площади треугольника

       

                                                               

26. По формуле площади треугольника

       

                                                               

27. По формуле площади треугольника

       

                                                               

28. По радиусу вписанной окружности

       

29. Из формулы радиуса вписанной окружности

       

30. По радиусу вписанной окружности

                                                               

31. По радиусу вписанной окружности

                       =>                                        

                                                               

32. Из формул 21.) и 30.)        =>

                                       =>                        

                                                               

33. Из формул 22.) и 30.)        =>

                                       =>                        

                                                               

34. Из формул 23.) и 30.)        =>

                                       =>                        

                                                               

35. Из формул 25.) и 30.)        =>

                                       =>                        

                               

                                                       

36. Из формул 26.) и 30.)        =>

                                       =>                        

                               

                                                       

37. Из формул 37.) и 30.)        =>

                                       =>                        

                               

                                                       

38. По радиусу описанной окружности

       

                                                               

       

39. По радиусу описанной окружности

       

               

               

40. По радиусу описанной окружности

       

                               

41. По радиусу описанной окружности

       

                               

42. По радиусу описанной окружности

       

                               

43. Из связи вписанной и описанной окружностей

               =>

                                                       

                               

                               

44. Из связи вписанной и описанной окружностей

               =>

       

       

       

                               

45. Из связи вписанной и описанной окружностей

               =>

                                               

                                               

46. По формуле медианы треугольника

       

                                       

47. По формуле медианы треугольника

       

                                       

48. По формуле медианы треугольника

       

                                       

49. Из формулы медианы треугольника

               

                               

50. Из формулы медианы треугольника

               

                               

51. Из формулы медианы треугольника

                       

                               

Рассмотрим треугольник AHaB – прямоугольный

52. По определению углов прямоугольного треугольника

               =>                

                               

Рассмотрим треугольник AHaC – прямоугольный

53. По определению углов прямоугольного треугольника

               =>                

                               

Рассмотрим треугольник BHbA – прямоугольный

54. По определению углов прямоугольного треугольника

               =>                

                               

Рассмотрим треугольник BHbC – прямоугольный

55. По определению углов прямоугольного треугольника

               =>                

                               

Рассмотрим треугольник CHcA – прямоугольный

56. По определению углов прямоугольного треугольника

               =>                

                               

Рассмотрим треугольник CHcB – прямоугольный

57. По определению углов прямоугольного треугольника

               =>                

                               

Рассмотрим треугольник ALaB

58. По теореме синусов

       =>

               

Рассмотрим треугольник ALaC

59. По теореме синусов

       =>

               

Рассмотрим треугольник BLbA

60. По теореме синусов

       =>

               

Рассмотрим треугольник BLbC

61. По теореме синусов

       =>

               

Рассмотрим треугольник CLcA

62. По теореме синусов

       =>

               

Рассмотрим треугольник CLcB

63. По теореме синусов

       =>

               

Рассмотрим треугольник AMaB

64. По теореме косинусов

               

Рассмотрим треугольник AMaC

65. По теореме косинусов

               

Рассмотрим треугольник BMbA

66. По теореме косинусов

               

Рассмотрим треугольник BMbC

67. По теореме косинусов

               

Рассмотрим треугольник CMcA

68. По теореме косинусов

               

Рассмотрим треугольник CMcB

69. По теореме косинусов

               

Рассмотрим треугольник ABC

70. По формуле площади треугольника

       

                                       

                               

71. По формуле площади треугольника

       

                                       

                               

72. По формуле площади треугольника

       

                                       

                               

73. По формуле высоты треугольника

       

                                       

                               

74. По формуле высоты треугольника

       

                                       

                               

76. По формуле высоты треугольника

       

                                       

                               

Подробнее можно узнать в видео объяснении. 

2.3        Возможные ошибки в Microsoft EXCEL и как их не допустить при описании формул расчётов элементов треугольника

#ДЕЛ/О! – данная ошибка практически всегда означает, что формула в ячейке пытается разделить какое-то значение на ноль. Чаще всего это происходит из-за того, что в другой ячейке, ссылающейся на данную, находится нулевое значение или значение отсутствует.

#ЧИСЛО! – ошибка возникает, когда в формуле присутствуют некорректные числовые значения, выходящие за границы допустимого диапазона.

#ЗНАЧ! – в данном случае речь идет об использовании неправильного типа аргумента для функции.

#Н/Д – данная ошибка расшифровывается как недоступно, и это означает, что значение недоступно функции или формуле. Можно увидеть такую ошибку, если ввести неподходящее значение в функцию.

#ИМЯ? – данная ошибка возникает, когда неправильно указано имя в формуле или ошибочно задано имя самой формулы.

#ПУСТО! – данная ошибка связана с диапазонами в формуле. Чаще всего она возникает, когда в формуле указывается два непересекающихся диапазона.

#ССЫЛКА! – ошибка возникает, когда были удалены ячейки, на которые ссылается данная формула.

Чтобы не допускать этих ошибок, и чтобы введённые в таблицу формулы правильно вычисляли, надо чтобы при отсутствии значений формула не считала, а выдавала «0».

Для этого в каждую формулу я вставил логическое условие ЕСЛИ. Оно позволяет выполнять логические сравнения значений и ожидаемых результатов. У функции ЕСЛИ возможны два результата. Первый результат возвращается в случае, если сравнение ИСТИНА, второй – если сравнение ЛОЖЬ.

=ЕСЛИ(лог_выражение;[значение_если_истина];[значение_если_ложь])

Пример логического условия «ЕСЛИ» для формулы №7 с тремя неизвестными:

ЕСЛИ(D5>0;D5;

ЕСЛИ(D6>0;

ЕСЛИ(D7>0;

180-D6-D7;

0);0))

Для сокращения этой функции, когда много условий, можно использовать функцию «И», с помощью которой можно определить, все ли проверяемые условия принимают значение ИСТИНА, при этом выполнение всех этих условий обязательно, иначе «0» – ЛОЖЬ.

=И(логическое_значение1;[логическое_значение2];…..)

Пример логического условия «И» для формулы №14 с четырьмя неизвестными:

=ЕСЛИ(D5>0;D5;

ЕСЛИ(И(D3>0;D4>0;D14>0);

2*(ACOS((D14*(D3+D4))/(2*D3*D4))*180/ПИ());

0))

Подробнее можно узнать в видео объяснении.

ГЛАВА III.        ФОРМАТИРОВАНИЕ ПОЛУЧЕННОЙ ТАБЛИЦЫ РЕЗУЛЬТАТОВ

3.1        Получение результатов вычислений из таблицы

В таблице расчетов, в ячейках ДАНО и РЕШЕНИЕ, значения установлены с округлением до десятых. Изменить разрядность нельзя!

После того, как я забил все 75 формул в таблицу (E2:CA20), необходимо получить результат вычислений в ячейках. Для этого я использовал функцию МАКС, которая возвращает наибольшее значение из всех результатов вычислений в строках, т.е. выбирает одно найденное значение для каждого элемента треугольника.

=МАКС(ячейка1:ячейка2) – для каждой строки элементов треугольника, т.е. в каждой ячейке столбца (CB2:CB20) записал условия МАКС(E2:CA2), МАКС(E3:CA3), МАКС(E4:CA4), ….. МАКС(E20:CA20). Полученные значения в этом столбце стали первым решением элементов треугольника.

Скопировал таблицу (A2:CA20) со столбцом первого решения и вставил ниже. В новой таблице заменил значение «ДАНО» (D21:D39) на полученные решения D21=CB2, D22=CB3 ….. D39=CB20 таблицы, стоящей выше. В столбце (CB21:CB39) получилось второе решение. Полученную вторую таблицу скопировал и вставил ниже ещё три раза. В столбце (CB78:CB96) получил решение, которое перенёс в начало таблицы в столбец (CC2:CC20). Это конечное решение элементов треугольника.

Подробнее можно узнать в видео объяснении.

3.2        Форматирование полученной таблицы

В таблице, кроме рассчитанных значений, оказалось много значений равных нулю. Они мешали визуальной оценке информации. Для того, чтобы их убрать и выделить нужную информацию, я использовал условное форматирование, выделив все таблицы расчетов (E2:CA96).

Главная/Условное_форматирование/Создать_правило

Теперь, при решении задачи, в таблице будут отображаться только решения по данный условиям, выделенные цветом.

Чтобы увидеть, какая формула описана в ячейке таблицы расчёта элементов треугольника (решение), в строку (E1:CA1), где указаны номера формул, я вставил гиперссылки на файлы JPG, в которых написаны эти формулы.

Вставка/Ссылка/Текущая_папка/ФайлыJPG

Подробнее можно узнать в видео объяснении.

3.3        Возможные ошибки в получении результата

3.3.1                При вводе значений элементов треугольника, кроме углов

Формулы расчетов элементов треугольников находят значения и не соблюдают аксиомы и правила треугольников. Их должен знать решающий задачу!

Так, при вводе определённых значений, может получиться решение, в котором один угол «треугольника» будет равен 1800, а два других – нули. При этом не будет соблюдаться правило неравенства треугольника, когда одна сторона не может быть больше или равной сумме двух других.

В этом случае a=b+c. Это не треугольник, а отрезок.

Чтобы такого ответа не было, в таблице результатов вычисления, в ячейках (CC8:CC20) я написал условие, информирующее об ошибке:

=ЕСЛИ(CB81>=180;"Нет решения!";CB81) – для углов треугольника, где CB81 – последнее решение угла в таблице.

=ЕСЛИ(ИЛИ($CC$5=180;$CC$6=180;$CC$7=180);($CC$5+$CC$6+$CC$7)>180);"Нет решения!";[значение]) – для элементов треугольника, где CC5, CC6, CC7 – решение углов A, B, C соответственно, [значение] – решение элемента треугольника.

3.3.2                При вводе значений углов с элементами треугольника

При составлении задач можно допустить ошибки, связанные с углами треугольника и другими его элементами.

Углы являются главным элементом треугольника, они определяют его вид. После их ввода в ДАНО, может случиться, что ввод значений других элементов ошибки в расчетах не вызовет, но для данного вида треугольника (по углам) решение этих элементов неправильно.

Для этого, в последней таблице расчетов, рядом с ячейками (CB81:CB83), я сделал контрольное сравнение значений углов, найденных по разным элементам и за истинное взял ВВЕДЁННОЕ значение углов. Если расчёт не совпадал с введённым значением, значит «Нет решения!»

=ЕСЛИ(CD81>0;ЕСЛИ(CE81=0;CC81;180);CC81) – для угла A;

=ЕСЛИ(CD82>0;ЕСЛИ(CE82=0;CC82;180);CC82) – для угла B;

=ЕСЛИ(CD83>0;ЕСЛИ(CE83=0;CC83;180);CC83) – для угла C.

Значение «180» выдаст ошибку в итоговом решении углов – «Нет решения!»

При составлении задач, необходимо проверять таблицу найденных значений, чтобы все элементы имели своё постоянное значение. Это будет означать, что задача составлена верно.

Подробнее можно узнать в видео объяснении.

3.4        Визуализация полученного решения

Увидеть результаты решений элементов треугольника лучше на рисунке, который покажет элементы треугольника наглядно. Для этого я использовал выпадающие списки с показом изображений. Я нарисовал все возможные варианты треугольников. Их получилось 28.

• Равносторонний треугольник (1);
• Равнобедренные прямоугольные (3), остроугольные (3), тупоугольные (3) треугольники с разным расположением углов;
• Прямоугольный треугольник с разным расположением углов (6);
• Остроугольный треугольник с разным расположением углов (6);
• Тупоугольный треугольник с разным расположением углов (6).

Каждому рисунку полученных треугольников я присвоил названия, вставил эти названия в ячейки столбца (CF2:CF29) и описал эти треугольники условиями.

Пример:

=ЕСЛИ(И(CC5=60;CC5=CC6);CF2;0)

– условие равностороннего треугольника;

=ЕСЛИ(И(CC5>45;CC5<>60;CC5<90;CC5=CC7;CC6<90);CF3;0)

– одно из условий равнобедренного треугольника (всего девять);

=ЕСЛИ(И(CC5=90;CC6<>CC7;CC6>45;CC6<90);CF11;0)

– одно из условий прямоугольного треугольника (всего шесть);

=ЕСЛИ(И(CC5<90;CC6<90;CC7<90;CC5>CC6;CC5>CC7;CC7>CC6);CF17;0)

– одно из условий остроугольного треугольника (всего шесть);

=ЕСЛИ(И(CC7>90;CC5<90;CC6<90;CC5<CC6;CC5<CC7;CC7>CC6);CF29;0)

– одно из условий тупоугольного треугольника (всего шесть).

Сумма этих 28 условий пошла в формулу выпадающего списка, в ячейке (CH1).

Далее, используя функции ПОИСКПОЗ и СМЕЩ, я составил именованный динамический диапазон, чтобы программа могла найти рисунок треугольника из выпадающего списка.

Функция ПОИСКПОЗ выполняет поиск указанного элемента в диапазоне ячеек и возвращает относительную позицию этого элемента в диапазоне.

=ПОИСКПОЗ(искомое_значение;просматриваемый_массив;[тип_сопоставления])

D2=ПОИСКПОЗ($D$1;$A:$A;0)

Функция СМЕЩ возвращает ссылку на диапазон, отстоящий от ячейки или диапазона ячеек на заданное число строк и столбцов. Возвращаемая ссылка может быть отдельной ячейкой или диапазоном ячеек. Можно задавать количество возвращаемых строк и столбцов.

=СМЕЩ(ссылка;смещ_по_строкам;смещ_по_столбцам;[высота];[ширина])

D3=СМЕЩ($B$1;$D$2-1;0;1;1)                =>

D3=СМЕЩ($B$1;ПОИСКПОЗ($D$1;$A:$A;0)-1;0;1;1)

Всё готово для создания именованного диапазона. В диспетчере имён создал новое имя TRIANGLE, вставив полученную функцию СМЕЩ в диапазон:

Формулы/Диспетчер_имён/Создать/ИмяTRIANGLE/Диапазон

Скопировал ячейку, где расположен рисунок треугольника и специальной вставкой вставил её рисунком в первый лист программы. После вставки, в строке формул, привязал его к созданному именованному динамическому диапазону: =TRIANGLE

Теперь, при решении элементов треугольника (его углов), изображается рисунок найденного треугольника. Причём, равносторонний и равнобедренный прямоугольный треугольник изображается точно, а все остальные – приближённо к найденным значениям углов.

Без условий в «ДАНО», отображается общий вид треугольника с обозначением всех элементов.

Чтобы увидеть, какие условия описаны в ячейках с названиями треугольников, в столбец (CF2:CF29), я вставил гиперссылки на файлы JPG, в которых написаны эти условия: Вставка/Ссылка/Текущая_папка/ФайлыJPG

Подробнее можно узнать в видео объяснении.

ГЛАВА IV.        ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛЕНИЙ

4.1        Работа с данными, проверка вводимых значений

Результат решений (CC2:CC20) из таблицы скопировал на первый лист в ячейки (F2:F20).

Программа EXCEL сама выдаёт ошибки в результатах. Но лучше сразу вводить в «ДАНО» значения, которые не будут к ним приводить.

Основные элементы треугольника имеют условия и для исключения ошибок в решении, я написал ограничения ввода значений в столбец «ДАНО»:

Для сторон, высот, медиан, биссектрис, радиуса вписанной окружности в Данные/Работа_с_данными/Проверка_вводимых_значений/Параметры/Тип_данных/Другой/Формула отмечаю ИГНОРИРОВАТЬ пустые ячейки и пишу условие:

• Сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других его сторон и больше абсолютного значения их разности (неравенство треугольника).

=И(D2<(D3+D4);D2>ABS(D3-D4))                – для стороны a;

=И(D3<(D2+D4);D3>ABS(D2-D4))                – для стороны b;

=И(D4<(D2+D3);D4>ABS(D2-D3))                – для стороны c;

• Если значения углов введены, необходимо помнить, что у большего угла высота, медиана и биссектриса из этого угла меньшие,

т.е. если A > B > C то:                ha < hb < hc

                                       ma < mb < mc

                                       lA < lB < lC

У равных углов высота, медиана и биссектриса равны.

• Высота треугольника из вершины к стороне должна быть меньше или равна двум другим сторонам, причем, если равна одной, то меньше другой;

=ЕСЛИ(D3=D4;D8<D3;ЕСЛИ(D3>D4;D8<=D4;D8<=D3))           – для высоты ha;

=ЕСЛИ(D2=D4;D9<D2;ЕСЛИ(D2>D4;D9<=D4;D9<=D2))           – для высоты hb;

=ЕСЛИ(D2=D3;D10<D2;ЕСЛИ(D2>D3;D10<=D3;D10<=D2)) – для высоты hc;

• Медиана треугольника к стороне должна быть меньше одной из двух других сторон;

=ЕСЛИ(D3>=D4;D11<D3;D11<D4)                – для медианы ma;

=ЕСЛИ(D2>=D4;D12<D2;D12<D4)                – для медианы mb;

=ЕСЛИ(D2>=D3;D13<D2;D13<D3)                – для медианы mc;

• Биссектриса треугольника из угла к стороне должна быть меньше одной из двух других сторон, прилежащих к этому углу;

=ЕСЛИ(D3>=D4;D14<D3;D14<D4)                – для биссектрисы lA;

=ЕСЛИ(D2>=D4;D15<D2;D15<D4)                – для биссектрисы lB;

=ЕСЛИ(D2>=D3;D16<D2;D16<D3)                – для биссектрисы lC;

• Радиус вписанной окружности должен быть меньше любого элемента треугольника, указанного в таблице, кроме углов;

=И(ЕСЛИ(МИН(D2:D4)>0;D20<МИН(D2:D4);D20);ЕСЛИ(МИН(D8:D19)>0;D20<МИН(D8:D19);D20))

Для углов треугольника, т.к. сумма их известна, условие другое. В Данные/Работа_с_данными/Проверка_вводимых_значений/Параметры/Действительное/меньше, НЕ ИГНОРИРОВАТЬ пустые ячейки:

• Угол треугольника равен 180 градусов минус сумма двух других углов.;

=180-(D6+D7)        – для угла A;

=180-(D5+D7)        – для угла B;

=180-(D5+D6)        – для угла C;

Подробнее можно узнать в видео объяснении.

4.2        Условное форматирование «Дано» и «Решение»

Кроме ошибки, связанной с расчетом углов, указанной в главе 3.3, может возникнуть ошибка #ЧИСЛО! или #ЗНАЧ! из-за некорректного ввода значений элементов треугольника, неописанная условием проверки данных, указанных в главе 4.1.

Для этого, в столбце «Решение» (F2:F20), я ввёл функцию

ЕСЛИОШИБКА(значение;значение_если_ошибка), которая возвращает значение если выражение ошибочно, в противном случае, возвращает само выражение:

=ЕСЛИОШИБКА(Лист2!CC2;"Нет решения!")

Для наглядности введённых значений и полученных результатов, использовал условное форматирование столбцов «Дано» и «Решение».

Главная/Условное_форматирование/Создать_правило

Для запрета ввода значений в «Дано», когда решение уже есть, условным форматированием сделал запретные ячейки красными. Нельзя вводить значение, если пустая ячейка выделена красным цветом!

Кроме того, при создании своих задач, для недопущения ошибок в расчётах элементов треугольника, которые программа может не обнаружить, вводить и исправлять значения в «ДАНО» обязательно сверху-вниз!

Обязательно проверять решение составленных задач!

Подробнее можно узнать в видео объяснении.

4.3        Защита листов книги от изменений

Чтобы предотвратить умышленное или случайное изменение, перемещение или удаление данных на листе другими пользователями, можно заблокировать ячейки на листе Excel, а затем защитить его паролем. С помощью защиты листа можно сделать доступными для редактирования только определенные части листа, после чего пользователи не смогут изменять данные в других его областях: Рецензирование/Защита_листа

Ещё можно защитить структуру книги Excel паролем, чтобы запретить другим пользователям просматривать скрытые листы, а также добавлять, перемещать, удалять, скрывать и переименовывать листы.

Рецензирование/Защита_книги

Подробнее можно узнать в видео объяснении.

4.4        Видеофайлы объяснений создания и работы с программой

Для наглядности проделанной работы, как работать с программой, я создал видеофайлы с объяснениями. Посмотреть объяснения можно в проекте Microsoft Word и программе Microsoft Excel:

Для просмотра в Microsoft Word нажмите CTRL и щёлкните ссылку, а для просмотра в Microsoft Excel просто нажмите на текстовую ссылку.

Подробнее можно узнать в видео объяснении.

ГЛАВА V.        ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Используя математическую программу Microsoft Excel, я собрал в единую таблицу известные мне и найденные формулы решений элементов треугольника без их доказательства, что позволило при правильном вводе значений в ДАНО находить необходимые элементы треугольника.

При затруднении в решениях задач, можно посмотреть, как находился тот или иной элемент треугольника, вспомнить нужные формулы.

Можно составлять свои задачи с объяснениями их решений.

Просмотрев видеофайлы ссылок, как я создавал программу, желающие могут сами создать такую же программу для решения других геометрических фигур, физических процессов и т.д.

QR-код на видео на канале YouTube «Решение элементов треугольника с помощью математической программы Microsoft Excel»

.

QR-код для скачивания файла Microsoft Excel на компьютер.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ РЕСУРСОВ

• Л. С. Атанасян, Геометрия. 7-9 классы. – М.: Просвещение, 2014. – 383 с.
• Л. С. Атанасян, Математика: алгебра и начало математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы. – М.: Просвещение, 2022. – 287 с.
• Тренер-эксперт по продуктам Microsoft Office Николай Павлов, интернет-сайт «Планета Excel», https://www.planetaexcel.ru
• Образовательный YouTube канал, «NikolayPavlov», адрес канала: https://www.youtube.com/@planetaexcel